Demuestre gráficamente en el geogebra los datos del ejemplo anterior, es decir que se evidencie que la distancia entre los puntos P (7, 6) y A (1, -2) sea 10 o entre los puntos P (7, -10) y A (1, -2) sea 10. Haga capture e imprima. Revise sus anotaciones de clase
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EJERCICIO 2
Encuentre la distancia entre cada pareja de puntos (compruebe gráficamente en papel cuadriculado usando regla y en geogebra, capture cada uno)
· (4, -1) y (2,0)
d= √ ((x2-x1) ² + (y2-y1) ²)
d= √ (2-4) ² + (0+1) ²
d= √ (-2) ²+ 1²
d= √4+1
d= √5 = 2,236067977
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· (1/2, 2) y (-2,1)
d= √ ((x2-x1) ² + (y2-y1) ²)
d= √ (-2-1/2) ² + (1-2) ²
d= √ (-5/2) ² + (-1) ²)
d= √ 25/4 + 1
d= √ 29/4 = 2,69
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EJERCICIO 3
La ordenada de un punto es 6 y su distancia al punto (-3,2) es 5. Determine la absisa del punto (hacer “a mano”). Compruebe en geogebra, capture imagen.
D= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
D= (x – 3)2 + (6 - 2)2
D= (x + 3)2 + (4)2
D= (x2 + 6x + 9 + 16)
D= (x2 + 6x + 25)
25 = x2 + 6x
0 = x (x+6)
De aquí se deduce que la abscisa podría ser x=0; x=-6
D (p, q) = √((x₁-x₂) ² + (y₁-y₂) ²)
5 = raíz (x + 3)2 + (6 – 2)2
5= raíz (x + 3)2 + 16
25 = (x + 3)2 +16
25 – 16 = (x + 3)2
Raíz 9 = (x + 3)2
3 = x + 3
X = 3 – 3
X = 0
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EJERCICIO 4
La absisa de un punto es 2 y su distancia al punto (3, -7) es √5. Determine la ordenada del punto. Compruebe en geogebra, capture imagen e imprima
(2; y) (3; -7)
D= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
D= +
D= +
D= (1+ 49 – 14y + )
50 = – 14y
0 = y (y-14)
D (p, q) = √((x₁-x₂) ² + (y₁-y₂) ²)
√5 = √(2-3) ² + (y+7) ²
(√5)²
= (-1) ² + (y+7) ²
5 = 1 + (y+7) ²
5 – 1 = (y+7) ²
4 = (y+7) ²
√4 = y + 7
2 = y + 7
y = -7 + 2
y = -5
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EJERCICIO 5
Encuentre las coordenadas del punto medio entre los segmentos formados por cada pareja de puntos
· A(4, -1) y B(2,0)
PM=[(X2+X1/2);(Y2+Y1/2)]
PAB=[((2+4)/2);(((0+(-1))/2)]
PAB=(3;-1)
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· A(1/2, 2) y B(-2,1)
PM=[(X2+X1/2);(Y2+Y1/2)]
PAB=[((-2+1/2)/2);(1+2)/2)]
PAB=(-3/4;3/2)
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EJERCICIO 6
Hallar las pendientes de las rectas que se muestran a continuación:
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EJERCICIO 7
Determine las pendientes de las rectas que unen cada pareja de puntos:
· (2, -1) y (4, -1)
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EJERCICIO 8
Trace en papel y en geogebra la función anterior y = 2x-4 además encuentre las siguientes ecuaciones y grafique
· Calcule la ecuación de la recta con pendiente -3 que corta al eje y en B (0,7).
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· Calcule la ecuación de la recta con pendiente 3 que corta al eje y en B (0,5).
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Se sabe que 0° Centígrados equivalen a 32 Farenheit. Por otra parte, 100 Centígrados equivalen a 212 Farenheit. Encuentra la ecuación que sirve de conversión entre una escala de temperatura y otra. Dejar en la forma pendiente-ordenada al origen
(0; 32) (100; 212) |
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Calcula la ecuación de la recta que corta al eje y en -2 y su pendiente es ½
Y-Y1 = M(X-X1)
Y + 2 = ½(x – 0)
Y= 1/2x – 2
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Calcula la ecuación de la recta horizontal que queda a -3 unidades del origen
(0,-3) (1,-3)
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Calcula la ecuación de la recta vertical que pasa a -4 unidades del origen
(-4,0) (-4,1)
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EJERCICIO 9
Halle la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación x +2y+3= 0, luego grafique (en papel cuadriculado) la función por medio de encontrar las intersecciones con los ejes, lo cual se logra haciendo x=0 y despejando “y” para hallar el punto de intersección con el eje “y”, y haciendo “y” =0 y despejando x para hallar el punto de intersección con el eje x. Compruebe en geogebra (imprima)
x +2y+3= 0
A= 1 B= 2 C=3
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RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Dos rectas con pendientes m1 y m2 son paralelas si m1= m2. Dos rectas son perpendiculares si m1*m2= -1
EJEMPLO 2: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5) y es perpendicular a la recta x+2y-6=0
Despejamos “y” en la ecuación dada para ponerla en la forma pendiente-ordenada al origen:
y= -(1/2) x +3, su pendiente es – ½.
Sea m la pendiente de la recta que pasa por (2,5). Como las dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1, o sea:
(- ½) m = -1, de despeja m, m= 2
Por la fórmula punto-pendiente, la ecuación de la recta que pasa por (2,5) con pendiente m=2 es:
y- y1 = m (x-x1)
y- 5 = 2 (x-2)
y- 5 = 2x-4
y = 2x +1
EJERCICIO 10
- Trace en geogebra (imprima) las rectas perpendiculares del ejemplo 2
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- Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5) y es paralela a la recta x+2y-6 = 0. Compruebe gráficamente en geogebra (imprima)
x+2y-6 = 0
y= -(1/2) x +3, su pendiente es – ½.
M1 = M2
-1/2 = M2
y- y1 = m (x-x1)
y - 5 = -1/2 (x - 2)
y = -1/2x +3
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- Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,-2) y (3,7). Compruebe en geogebra (imprima)
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- Halle la ecuación de la recta que pase por (0, -1) y es paralela a la recta determinada por (2,2) y (3,1). Compruebe en geogebra (imprima)
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EJERCICIO 11: Escribir la tabla de valores correspondiente al gráfico de la derecha
x 2 1 0 -1 -2 y 5 3 1 -1 -3
EJERCICIO 12
: Graficar las funciones y = 3x -2, y= x +2 por medio de hallar solo las intersecciones con los ejes. Realizar primero en papel cuadriculado y a mano y luego en el programa Geogebra (imprimir las imágenes resultantes)
y = 3x -2
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y= x +2
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EJERCICIO 13:
¿Cuál es la intersección con el eje y (b) en el ejemplo anterior?
En la función y= x +2, la interseccion con el eje y es (0, -2).
En la función y= x +2, la intersección con el eje y es (0,2).
EJERCICIO 14: Un vehículo recorre la distancia entre Chone y Portoviejo en las distintas velocidades y tiempos que se muestran.
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X (velocidad en km/h) |
160 |
106,67 |
80 |
53,33 |
40 |
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y (tiempo en horas) |
1/2 |
3/4 |
1 |
1 y 1/2 |
2 |
Escriba la función inversa resultante y grafique en papel cuadriculado y en geogebra
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· EJERCICIO 15: Graficar las siguientes funciones, analíticamente, “a mano”, incluya los ejercicios del proceso y el gráfico en papel cuadriculado y compruebe en geogebra :
-Y= 2x² +x-1
y= 2x² +x-1 se iguala y=0
0= 2x² +x- 1 se invierten los miembros
2x² +x- 1 = 0 se factora el primer miembro
(2x- 2)(2x +1) = 0 se iguala a cero cada factor
2x- 2= 0; 2x+1=0 se despeja x en cada factor
x= 2/2; x= -1/2 por tanto, asoman los puntos
(1,0) ; (-0,5,0) que son las intersecciones con el eje x
Con el eje y (se iguala la x a cero en la función)
y= 2x² +x- 1
y= 0+0-1
y=-1 por tanto, asoma el punto
(0,-1) que es la intersección con el eje y
Componente x:
= -b/2 a
= -(-1)/ 2 (2)
= -1 / 4
= -0,25
Componente y:
y=2x² +x- 1
y= 2(-1/4) ² + (-1/4) -1
y= 2(1/16) - 1/4 -1
y= 1/8 – ¼ - 1
y= 1-2-8/8 = -9/8
Por tanto el vértice de la parábola es el punto (-0,25; -9/8)
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