Informe de investigacion previa

Introducción.

La trigonometría ha sido usada desde varios siglos atrás, para la construcción de obras, como lo son las pirámides de giza, para la agricultura, la medición de distancias, con solo la medida de la sombra hecha por un objeto frente al sol, y el ángulo. Hoy en día, es usada en muchas áreas laborales de la vida cotidiana, como lo son la construcción de puentes, edificios, telecomunicaciones, navegación, geografía, astronomía, etc.

1.Trigonometría

Oteyza (2007) dijo que la trigonometría se basa en la semejanza de los triángulos, esto quiere decir, que si dos triángulos tienen sus lados proporcionales entonces sus ángulos también son iguales.

-Los ángulos y su medición

Ejemplo, tenemos dos semirrectas AB y AC, su punto común es A, y lo llamamos vértice. Si mantenemos fija a la semirrecta AB y hacemos girar AC desde su posición inicial AB hasta la posición final AC, diremos que se generó el ángulo <BAC.

 

Gráfico 1: Ángulo con lado inicial y final. Fuente: Quora.

 

La semirrecta AB se la conoce como semirrecta inicial y AC como semirrecta final o generatriz. Para poder medir un ángulo se debe tener primero una unidad de medida. Podemos dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, llamadas grados. Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos, esa es la medida angular en el sistema sexagesimal.

Para poder convertir de la notación de minutos y segundos a la notación decimal, usamos una regla de tres:

 

60 minutos   =   1 grado

(m) minutos   = (g) Grados

de donde obtenemos que 1´ = 1º / 60 = 0.016667, y en la regla de tres

3600 segundos   =   1 grado

   (s) segundos   = (g) Grados

de donde obtenemos que 1” = 1º / 3600 = 0.000278.

Ejemplos: Escribir 35º 21´ 14” en expresión decimal:

Nos quedamos con los 35º y transformamos a decimales a los minutos y a los segundos

                            21´ = 21º / 60 = 0. 35º     Y     14” = 14 / 3600 = 0.0039º            

Entonces:

                                                  35º 21´ 14” = 35.3539 º

Escribir 32. 5892º en grados, minutos y segundos:

Nos quedamos con la parte entera y convertimos los 0.5892 grados a minutos:

                                0.5892 grados = 0.5892 * 60 = 35.352 minutos 

Nos quedamos con la parte entera y convertimos los 0.352 minutos a segundos:

                                0.352 minutos = 0.352 * 60 = 21.12 segundos

Así que:

                                               32.5892º = 32º 35´ 21”.

 

1.1. Breve historia de la Trigonometría.

● Baldor (2004) dice que la astronomía se empezó a aplicar por los babilonios y los egipcios la utilizaron en la agricultura y la construcción. El primer aporte en esta rama fue hecha por Pitágoras, quien es el creador del mismísimo Teorema de Pitágoras siglos después en Grecia el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea, construyó una tabla de cuerdas que equivale a la tabla actual de senos, fue catalogado como el padre de la trigonometría. Tres siglos después Claudio Tolomeo astrónomo y matemático, escribió un Tratado llamada Almagesto, fue la primera sistematización de la trigonometría plana y esférica, En la India desarrollaron un sistema trigonométrico que se basaba en la función seno y las 5 razones trigonométricas coseno, seno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

 

Gráfico 2: Tabla de cuerdas hecha por Hiparco de Nicea, Tomado de Baldor, J. A, 2004.

 

En el siglo XV, el matemático y astrónomo alemán John Müller, también llamado Regiomontano, hizo los primeros escritos de la trigonometría. En el siglo XVIII, el matemático John Napier, crea los logaritmos que simplifican notablemente el cálculo. En el mismo año, Isaac Newton y Gottfried, desarrollaron el cálculo diferencial que ayuda a representar funciones matemáticas como las trigonométricas. Por último, Leonhard Euler, fue quien fundó la trigonometría moderna, popularizó la letra griega “π”, la función exponencial y su relación con las funciones trigonométricas. Hoy en día, es usada para el cálculo de distancia, alturas y áreas, telecomunicaciones, electricidad, astronomía, ingeniería, etc. (Joseph, George G, 2000).

1.3. Conversión de medidas de ángulos de grados y radianes.

-La medida circular o en radianes

Existe otra forma más conveniente de medir los ángulos en ciertas áreas de las matemáticas. Consideremos un ángulo central COB, es decir, que un ángulo cuyo vértice se encuentre en el origen de las coordenadas, entonces, dibujamos un círculo con centro en el origen y radio(r). La medida del ángulo COB en radianes es el cociente de la longitud del arco que comprende entre el radio del círculo medida del ángulo COB = X/r

 Cuando la longitud del arco es igual a la del radio del círculo, se obtiene la unidad de medida, a la que se la denomina como radián. (Oteyza, 2007).

 

 

Gráfico 3: Razones Trigonométricas. Fuente:

 

Oteyza (2007) dice que a un ángulo de 360º le corresponde a un arco que es perímetro de un círculo (2 pi) (r) de modo que el ángulo COB que mide 0º le corresponde un arco que mide x unidades, esto quiere decir:

                                                              360/2(pi)(r) = 0/x

En donde: 

                                                              x = 0 * (2(pi)(r)) / 360

                                                                x / r = (pi) * 0 / 180

Ejemplos: ¿Cuál es el valor en grados de un radián?

Como pi = 3.1416, entonces:

                                             180 / 3.1416 = 57. 29º

 

-       Encontrar en radianes el valor correspondiente de 75º

                                          

                                              75(pi) / 180 = 5(pi) / 12

-       Encontrar el valor en grados de (pi) / 3

                                          

                                               (pi) / 3 * 180 / (pi) = 60º

-       Encontrar el valor en radianes de 148º 36´ 27” en forma decimal:

 

                            36´ = 36 / 60 = 0.6                 27” = 27 / 3600 = 0.0075

-       Entonces 148º 36` 27” = 148.6075º; en donde

                                    

                                            148.6075(pi) / 180 = 2.59 radianes.

 

 

 

 

 

 

1.4. Funciones trigonométricas de ángulos agudos.

 

Las razones o funciones trigonométricas que necesitamos para efectuar la relación entre cateto y cateto, ángulos y ángulos, y cateto y ángulo. Son la razón del seno, coseno, tangente, cotangente, cosecante y secante, de un triángulo rectángulo. (Halls & Knight, 1961)

 

Gráfico 4 : Razones trigonométricas. Tomado de Halls, H. S, 1961.

 

Baldor (2000), dijo que:

- El seno, es la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa, y se abrevia como sen.

- El coseno, es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, se abrevia como cos.

- La tangente, es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a la hipotenusa, se abrevia como tg.

- La cotangente, es lo inverso a la tangente, es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto a la hipotenusa.

- La cosecante, es lo inverso del seno, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

- L a secante, es lo inverso del coseno, es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

 

Las razones del coseno y el seno, de un ángulo no pueden ser mayores al número 1. Y, las razones de la secante y cosecante, de un ángulo no pueden ser menores al número -1. (Halls & Knight, 1961).

 

 

 
Referencias bibliográficas.

 

Baldor, J. A. (2004). Geometría plana y del espacio con una introducción a la trigonometría. México: Publicaciones Cultural.

Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Londres: Penguin Books.

Halls, H. S. - Knight, S. R. (1961). Trigonometría Elemental. México: Hispano Americana.

Oteyza, Elena et al. (2007). Conocimientos Fundamentales de Matemáticas. Trigonometría y Geometría Analítica. México: Pearson Educación.